1.8.1750 Glis (heute Gemeinde Brig-Glis), 31.12.1826 Brig, katholisch, von Brig. Sohn des Kaspar Jodok, Landratsboten und Obersten ob der Mors (Oberwallis), und der Maria Josefa de Sepibus. Ururenkel des Kaspar (->). 1773 Marie Françoise du Fay de Lavallaz, Tochter des Stanislas. Kaspar Eugen Stockalper vom Thurm besuchte das Kollegium Brig und wurde 1766 Meier von Ganter. 1767-1769 studierte er an der Jesuitenuniversität Dillingen (Bayern) und absolvierte 1770-1771 eine juristische Ausbildung in Turin. 1773 amtierte er als Zendenrichter, 1775 als Kastlan des Freigerichts Wald, 1774 und 1790 als Grosskastlan von Brig sowie 1795 als Bannerherr des Zendens Brig. Als Landvogt von Saint-Maurice 1786-1788 und Oberst ob der Mors 1795 rückte er in die Landespolitik auf. Während der Revolution ging Stockalper seiner Ämter verlustig, doch wurde er 1798 Mitglied der helvetischen Verwaltungskammer im Wallis. 1799 wirkte er als Präsident des Oberwalliser Kriegsrats zur Verteidigung des Simplons gegen die Revolutionstruppen. Nach seinem Ausscheiden kehrte er noch vor dem Jahresende nach Brig zurück, wo er bereits 1800 als Präsident der Munizipalität Brig wirkte, was die rasche Rehabilitation zeigt. Ab 1802 beteiligte er sich als Landratsbote des Zendens Brig, als Präsident der konstituierenden Versammlung und als Staatsrat der Republik Wallis am Wiederaufbau des ausgeplünderten Landes. 1805-1810 präsidierte er den Landrat. 1810 war er erstmals Landeshauptmann.
Obschon Stockalper ein treuer Verfechter des Katholizismus und entschiedener Gegner des Anschlusses an Frankreich war, ernannte ihn Napoleon 1810 zum Mitglied der Pariser Gesandtschaft, die zur Einverleibung des Wallis ins Kaiserreich berufen wurde. Seine Ambitionen, Vertreter des neuen Departements im Corps législatif zu werden, scheiterten, dafür wurde er Justizrat am Kaiserlichen Gerichtshof in Lyon. 1813 ins Wallis zurückgekehrt, war er Präsident des Generalrats im französischen Departement Simplon. Nach dem österreichischen Einmarsch präsidierte er 1814 die provisorische Regierung und amtierte bis 1818 als Gesandter des Wallis an der eidgenössischen Tagsatzung. Am 4. August 1815 unterzeichnete Stockalper, der sich stets für ein unabhängiges Wallis eingesetzt hatte, die Urkunde zum Anschluss des neuen Kantons Wallis an die Schweizerische Eidgenossenschaft. 1819-1821 und 1823-1825 wirkte er erneut als Landeshauptmann des Wallis.
Stockalpers führende Stellung und sein politisches Gewicht gründeten vor allem in seiner Kompromisshaltung gegenüber den revolutionären Bewegungen und in seiner Fähigkeit zum Arrangement mit den verschiedenen Machthabern. Dadurch konnte er, ein typisch patrizischer Repräsentant des Ancien Régime, seine gesellschaftliche Stellung halten und Teile des Familienvermögens in die neue Zeit hinüberretten. Reichsritter, Baron des französischen Kaiserreichs, Kreuz der Ehrenlegion.