Seit dem 13. Jh. nachweisbare Urner Fam. mit Stammgütern auf Seelisberg, ab der Mitte des 15. Jh. in Altdorf ansässig. Gemeinsamer Stammvater aller Linien ist Heinrich (nach 1446). Noch im 14. Jh. als Eigenleute der von Attinghausen nachweisbar, gelang den B. im 15. Jh. ein steiler sozialer und polit. Aufstieg, v.a. über Landwirtschaft, Handel und Militärunternehmertum. 1521 erhielten sie den kaiserl. Adels- und Wappenbrief, 1623 bzw. 1691 wurden sie in den Reichsfreiherrenstand, 1800 in den Reichsgrafenstand erhoben. Im 16. und 17. Jh. spielten die B. mit Johann Konrad (->), Johann Peregrin (->), Josue (->), Karl Konrad (->) und Sebastian (->) in Uri und darüber hinaus in der kath. Eidgenossenschaft als Führer der span. Partei eine zentrale, z.T. beherrschende Rolle. Dabei kamen ihnen ausgezeichnete Verbindungen in die ennetbirg. und ostschweiz. Landvogteien zustatten. Mehrmals führten B. als Militärunternehmer im Dienste Spaniens Söldnerregimenter nach Oberitalien (Mailand). Im 16. Jh. bildeten sich Linien und Zweige aus, die sich ausserhalb von Uri etablierten. Die B. in Mendrisio versahen 1645-1798 das Landschreiberamt dieser gemeineidg. Vogtei, die B. in Lugano 1576-1798 - mit Unterbrüchen - das dortige, gleichermassen gewichtige wie einträgl. Kanzleramt. Den grössten sozialen Sprung schaffte hingegen die thurg.-dt. Linie. Ihr gelang der vom Erwerb zahlreicher nordostschweiz. und süddt. Grund- und Gerichtsherrschaften (u.a. Gündelhart) begleitete Aufstieg und die vollständige Integration in den vorderösterr. bzw. süddt. Adel. Heute lebt in der Schweiz nur noch der Zweig von Mendrisio weiter.